2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值

本题导读

本题考查分段函数在实际问题中的应用。核心在于写出市场售价与成本的分段表达式，再作差求纯收益的最大值。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 $300$ 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $p=f(t)$；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q=g(t)$；

(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 注：市场售价与种植成本的单位：元$/10^2\mathrm{kg}$，时间单位：天．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由图一折线写出 $p=f(t)$ 的分段表达式。
2. 由图二抛物线写出 $Q=g(t)$。
3. 作差 $h(t)=f(t)-g(t)$，分段求最大值。

✅【答案】

Success

(1) $p=f(t)=\{\begin{array}{ll}300-t,& 0⩽t⩽200\\ 2t-300,& 200<t⩽300\end{array}$，$Q=g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100$；(2) 从二月一日起第 $50$ 天

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图一，$0⩽t⩽200$ 时，售价从 $300$ 线性下降到 $100$，斜率为 $\frac{100-300}{200}=-1$，故 $p=300-t$；$200<t⩽300$ 时，售价从 $100$ 线性上升到 $300$，斜率为 $2$，故 $p=2t-300$．所以 $p=f(t)=\{\begin{array}{ll}300-t,& 0⩽t⩽200\\ 2t-300,& 200<t⩽300\end{array}$． 由图二，成本抛物线顶点为 $(150,100)$，过 $(0,175)$ 等点，故 $Q=g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100$（$0⩽t⩽300$）． (2) 设纯收益 $h(t)=f(t)-g(t)$． 当 $0⩽t⩽200$ 时，$h(t)=(300-t)-\left[\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100\right]=-\frac{1}{200}(t-50{)}^2+100$，当 $t=50$ 时取得最大值 $100$； 当 $200<t⩽300$ 时，$h(t)=(2t-300)-\left[\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100\right]=-\frac{1}{200}(t-350{)}^2+100$，在 $t>200$ 上单调递减，最大值小于 $t=200$ 处的值 $h(200)=-\frac{1}{200}(200-350{)}^2+100=-12.5<100$． 故纯收益在 $t=50$ 时最大，即从二月一日起第 $50$ 天上市时纯收益最大．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的纯收益最值

核心方法：(1) $p=f(t)=\{\begin{array}{ll}300-t,& 0\le t\le 200\\ 2t-300,& 200<t\le 300\end{array}$，$g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100$；；(2) 纯收益 $h(t)=f(t)-g(t)$，$0\le t\le 200$ 时 $h(t)=-\frac{1}{200}(t-50{)}^2+100$ 最大在 $t=50$，$200<t\le 300$ 时递减，故第 $50$ 天最大

避坑指南：分段作差求最大值点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数模型的应用

结论推广：一般地，实际最值分段作差讨论

方法推广：分段作差求最值点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-20 解-分段函数最值
• 2002-上海卷文-19 解-二次函数最值与单调
• 2001-上海文-21 解-函数实际应用方案比较

专题合集 (Series)