2000-大纲理-21 解-函数应用折线与抛物线

本题导读

本题考查分段函数，以及二次函数最值。核心在于读图建模+分段求最值的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 $300$ 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $p=f(t)$；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q=g(t)$.

(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/$10^2$ kg，时间单位：天）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图一由两点定折线，图二由顶点式设抛物线代点求 $k$；纯收益 $H(t)=f(t)-g(t)$ 分两段求最大值再比较。

✅【答案】

Success

(1) $f(t)=\{\begin{array}{ll}300-t,& 0⩽t⩽200,\\ 2t-300,& 200<t⩽300;\end{array}g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100(0⩽t⩽300)$

(2) 从二月一日起第 $50$ 天上市时纯收益最大

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图一，市场售价折线经过 $(0,300)$、$(200,100)$、$(300,300)$. 前一段斜率为 $-1$，后一段斜率为 $2$，所以 $p=f(t)=\{\begin{array}{ll}300-t,& 0⩽t⩽200,\\ 2t-300,& 200<t⩽300.\end{array}$ 由图二，成本曲线的顶点为 $(150,100)$，可设 $Q=g(t)=k(t-150{)}^2+100$. 又曲线经过 $(50,150)$，代入得 $150=100+k(50-150{)}^2=100+10000k$，所以 $k=\frac{1}{200}$，从而 $g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100(0⩽t⩽300)$.

(2) 设纯收益为 $H(t)=f(t)-g(t)$. 当 $0⩽t⩽200$ 时，$H(t)=300-t-\left[\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100\right]=100-\frac{(t-50{)}^2}{200}$. 因此这一段的最大值在 $t=50$ 时取得，最大值为 $100$. 当 $200<t⩽300$ 时，$H(t)=2t-300-\left[\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100\right]=100-\frac{(t-350{)}^2}{200}$. 在区间 $(200,300]$ 内，$t$ 越大，$(t-350{)}^2$ 越小，所以这一段的最大值在 $t=300$ 时取得，等于 $\frac{175}{2}$. 因为 $100>\frac{175}{2}$，故纯收益最大时 $t=50$，即从二月一日起第 $50$ 天上市.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数建模与分段最值

核心方法：读图定关键点+分段函数配方法

避坑指南：第二段 $H(t)$ 的对称轴 $t=350$ 在区间外，最大值取在右端点 $t=300$；两段最大值必须比较后下结论

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：读图建模求最值是函数应用题的高考经典（2000 年名题），融合分段函数与二次函数.

2. 结论推广：应用题三步：读图建函数（关键点定式）→ 写目标函数（分段）→ 分段求最值并比较.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值
• 2002-上海卷理-20 解-分段函数应用题
• 1998-上海理-08 填-分段函数的最值