1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数

本题导读

本题考查椭圆与曲线的公共点及面积函数。核心在于由唯一公共点定 $ab=2$，写出面积函数，再求 $\min \{g(a),S(a)\}$ 的分段表达式。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 设椭圆 $C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），曲线 $C_2$ 的方程为 $y=\frac{1}{x}$，且 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限内只有一个公共点 $P$.

(1) 试用 $a$ 表示点 $P$ 的坐标；

(2) 设 $A$、$B$ 是椭圆 $C_1$ 的两个焦点，当 $a$ 变化时，求 $△ABP$ 的面积函数 $S(a)$ 的值域；

(3) 记 $\min \{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$ 为 $y_1$，$y_2$，$\cdots$，$y_n$ 中最小的一个.设 $g(a)$ 是以椭圆 $C_1$ 的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数 $f(a)=\min \{g(a),S(a)\}$ 的表达式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立 $y=\frac{1}{x}$ 与椭圆方程，由唯一公共点令判别式为零得 $ab=2$。
2. 由底 $|AB|$ 与高求 $S(a)$，得值域。
3. 比较 $g(a)$ 与 $S(a)$，解不等式定分段点。

✅【答案】

Success

(1) $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2}}{a}\right)$

(2) $(0,\sqrt{2})$

(3) $f(a)=\{\begin{array}{ll}{a}^2-\frac{4}{a^2},& \sqrt{2}<a⩽\sqrt[4]{6},\\ \sqrt{2\left(1-\frac{4}{a^4}\right)},& a>\sqrt[4]{6}\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将 $y=\frac{1}{x}$ 代入椭圆方程，得 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{b^2{x}^2}=1$，化简得 $b^2{x}^4-a^2{b}^2{x}^2+a^2=0$。由题意（第一象限内只有一个公共点），判别式 $\Delta =a^4{b}^4-4a^2{b}^2=0$，故 $ab=2$。于是 $x^2=\frac{a^2}{2}$，解得 $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$（舍去负值），所以 $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2}}{a}\right)$。 (2) 在 $△ABP$ 中，$|AB|=2\sqrt{a^2-b^2}$，高为 $P$ 的纵坐标 $\frac{\sqrt{2}}{a}$，所以 $S(a)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a^2-b^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2\left(1-\frac{4}{a^4}\right)}$（用 $b=\frac{2}{a}$）。又 $a>b>0$，$b=\frac{2}{a}$，故 $a>\sqrt{2}$，因而 $0<S(a)<\sqrt{2}$，故 $△ABP$ 的面积函数 $S(a)$ 的值域为 $(0,\sqrt{2})$。 (3) $g(a)=c^2=a^2-b^2=a^2-\frac{4}{a^2}$。若 $g(a)⩾S(a)$，则 $a^2-\frac{4}{a^2}⩾\sqrt{2\left(1-\frac{4}{a^4}\right)}$，两边平方整理得 $a^8-10a^4+24⩾0$，即 $(a^4-4)(a^4-6)⩾0$。因 $a>\sqrt{2}$，$a^4-4>0$，于是 $a^4⩾6$，即 $a⩾\sqrt[4]{6}$。所以 $f(a)=\min \{g(a),S(a)\}=\{\begin{array}{ll}{a}^2-\frac{4}{a^2},& \sqrt{2}<a⩽\sqrt[4]{6},\\ \sqrt{2\left(1-\frac{4}{a^4}\right)},& a>\sqrt[4]{6}.\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与曲线的公共点及面积函数

核心方法：(1) 联立判别式 $=0$ 得 $ab=2$，$P(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2}}{a})$；；(2) $S(a)=\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{4}{a^4}}\in (0,\sqrt{2})$；；(3) $g(a)=a^2-\frac{4}{a^2}$，$g\ge S$ 解得 $a\ge \sqrt[4]{6}$，$f(a)$ 分段表达

避坑指南：判别式定公共点 + 面积函数 + min 分段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆与函数综合

结论推广：一般地，唯一公共点用判别式为零

方法推广：判别式 + 面积函数分段

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标
• 2001-上海文-18 解-椭圆直角焦点三角形