1997-全国卷文-17 填-直线与抛物线交点的中点

本题导读

本题考查直线与抛物线的交点，以及由韦达定理求弦中点。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 已知直线 $x-y=2$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A$，$B$ 两点，那么线段 $AB$ 的中点坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立直线与抛物线方程消元。
2. 由韦达定理求两根和，得中点坐标。

✅【答案】

Success

$(4,2)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x-y=2$ 得 $x=y+2$，代入 $y^2=4x$ 得 $y^2=4(y+2)$，即 $y^2-4y-8=0$。设 $A$、$B$ 的纵坐标分别为 $y_1$、$y_2$，则 $y_1+y_2=4$，中点纵坐标为 $\frac{y_1+y_2}{2}=2$，横坐标为 $2+2=4$。故中点坐标为 $(4,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线交点的中点

核心方法：联立 $x-y=2$ 与 $y^2=4x$ 得 $y^2=4(y+2)$，$y^2-4y-8=0$，中点纵坐标 $\frac{y_1+y_2}{2}=2$，横坐标 $4$，中点 $(4,2)$

避坑指南：韦达定理求中点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与抛物线

结论推广：一般地，联立后用韦达定理求中点

方法推广：韦达定理求中点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积
• 2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标
• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程