1977-安徽理-06 解-抛物线与直线

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系。核心在于平行直线斜率相同，联立消元解二次得交点。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） 设 $P(8,2)$ 为平面直角坐标系上一点，$y^2=x$ 是曲线，$y-x-1=0$ 是一直线： (1)求过 $P$ 点与直线 $y-x-1=0$ 平行的直线方程.

(2)求所求的直线与已知曲线交点的坐标.

(3)作出它们的图象.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$k_1=1$，点斜式写平行线；(2)联立 $y^2=x$ 与 $y=x+6$，消 $x$ 解 $y^2-y-6=0$；(3)描图。

✅【答案】

Success

(1)$y-x+6=0$(2)$(9,3)$ 与 $(4,-2)$(3)图象见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)直线 $y-x-1=0$ 的斜率 $k_1=1$，因此过 $(8,2)$ 且与它平行的直线方程是 $\frac{y-2}{x-8}=1$，即 $y-x+6=0$。 (2)直线 $y-x+6=0$ 和曲线 $y^2=x$ 的交点坐标应满足方程组，由 $x=y+6$ 代入 $y^2=x$ 得 $y^2-y-6=0$，$(y-3)(y+2)=0$，$y=3$ 或 $y=-2$，相应 $x=9$ 或 $4$。因此交点坐标是 $(9,3)$ 和 $(4,-2)$。 (3)图象如下：抛物线 $y^2=x$ 开口向右，直线 $y=x+6$ 过 $(0,6)$ 与 $(-6,0)$，两图象交于 $(9,3)$、$(4,-2)$ 两点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与直线

核心方法：点斜式+联立

避坑指南：平行则斜率同为 $1$；联立消 $x$ 解二次

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：交点

结论推广：$y=x+6$；$(9,3)$、$(4,-2)$

方法推广：联立消元解二次

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-17 填-直线与抛物线交点的中点
• 2007-江西文-07 单-直线与抛物线交点三角形面积