1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积

本题导读

本题考查正三棱柱中的面面垂直与三棱锥体积。核心在于建系求法向量证垂直、用混合积求体积。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)）如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = \frac{A A _{1}}{3} = a$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点， $B E = a$ ， $C F = 2 a$ .

(1)求证：面 $A E F ⊥$ 面 $A C F$ ；

(2)求三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

建立空间直角坐标系，求面 $A E F$ 、面 $A C F$ 的法向量。

由法向量内积为零证垂直；用混合积求三棱锥体积。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $\frac{3}{4} a^{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)以 $A$ 为原点、 $A B$ 为 $x$ 轴，底面 $A B C$ 在 $x O y$ 平面内。取 $A (0, 0, 0)$ 、 $B (a, 0, 0)$ 、 $C (\frac{a}{2}, \frac{3}{2} a, 0)$ 。由 $A A_{1} = 3 a$ 、 $B E = a$ 、 $C F = 2 a$ ，得 $E (a, 0, a)$ 、 $F (\frac{a}{2}, \frac{3}{2} a, 2 a)$ 。平面 $A E F$ 的一个法向量 $n_{1} = A E \times A F = (a, 0, a) \times (\frac{a}{2}, \frac{3}{2} a, 2 a) = \frac{a ^{2}}{2} (- 3, - 3, 3)$ ；平面 $A C F$ 的一个法向量 $n_{2} = A C \times A F = (\frac{a}{2}, \frac{3}{2} a, 0) \times (\frac{a}{2}, \frac{3}{2} a, 2 a) = a^{2} (3, - 1, 0)$ 。 $n_{1} \cdot n_{2} = \frac{a ^{4}}{2} (- 3 \cdot 3 + (- 3) \cdot (- 1) + 3 \cdot 0) = \frac{a ^{4}}{2} (- 3 + 3) = 0$ ，故 $n_{1} ⊥ n_{2}$ ，即面 $A E F ⊥$ 面 $A C F$ 。 (2) $A A_{1} = (0, 0, 3 a)$ ，三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积 $V = \frac{1}{6} (A E \times A F) \cdot A A_{1} = \frac{1}{6} \frac{a ^{2}}{2} (- 3, - 3, 3) \cdot (0, 0, 3 a) = \frac{1}{6} \cdot \frac{a ^{2}}{2} \cdot 33 a = \frac{3}{4} a^{3}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱中的垂直与体积

核心方法：(1) 建系得 $A E = (a, 0, a)$ ， $A F = (\frac{a}{2}, \frac{3}{2} a, 2 a)$ ，面 $A E F$ 与面 $A C F$ 法向量内积 $0$ ，故垂直；；(2) $V_{A_{1} - A E F} = \frac{1}{6} ∣ (A E \times A F) \cdot A A_{1} ∣ = \frac{3}{4} a^{3}$

避坑指南：建系证垂直 + 混合积求体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正三棱柱与体积

结论推广：一般地，建系证垂直、混合积求体积

方法推广：建系混合积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积

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