1996-全国卷文-14 单-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及用点到直线的距离把几何条件表为 $e$。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$0<a<b$）的半焦距为 $c$，直线 $l$ 过 $(a,0)$，$(0,b)$ 两点，已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}c$，则双曲线的离心率为 ()

A.$2$　　B.$\sqrt{3}$　　C.$\sqrt{2}$　　D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出直线 $l$ 的方程。
2. 用原点到直线的距离公式，结合 $c^2=a^2+b^2$ 求 $e$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即 $bx+ay-ab=0$。原点到 $l$ 的距离 $d=\frac{|ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab}{c}=\frac{\sqrt{3}}{4}c$。故 $\frac{ab}{c^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。设 $e=\frac{c}{a}$，则 $b^2=c^2-a^2=a^2(e^2-1)$，故 $ab=a^2\sqrt{e^2-1}$，$\frac{ab}{c^2}=\frac{a^2\sqrt{e^2-1}}{a^2{e}^2}=\frac{\sqrt{e^2-1}}{e^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。即 $4\sqrt{e^2-1}=\sqrt{3}{e}^2$，平方得 $16(e^2-1)=3e^4$，$3e^4-16e^2+16=0$，解得 $e^2=4$ 或 $e^2=\frac{4}{3}$。因 $b>a$ 得 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{2}$，故 $e^2=4$，$e=2$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 即 $bx+ay-ab=0$，原点距 $d=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab}{c}=\frac{\sqrt{3}}{4}c$，故 $\frac{ab}{c^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，$e=\frac{c}{a}$，由 $b^2=c^2-a^2$ 得 $\frac{\sqrt{e^2-1}}{e}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得 $e=2$，选 A

避坑指南：点到直线距离表离心率

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线离心率

结论推广：一般地，用点到直线距离把几何条件表为 $e$

方法推广：距离表离心率

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆
• 1999-全国卷文-15 填-椭圆的通径与离心率
• 1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程