1996-上海文-14 填-二项式展开的系数

本题导读

本题考查二项式展开中特定项的系数，核心在于卷积求和。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 在 $(1+x{)}^2(1-x{)}^4$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是　　　（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别写 $(1+x{)}^2$ 与 $(1-x{)}^4$ 的通项。
2. 按卷积求 $x^3$ 的系数。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

$(1+x{)}^2$ 的 $x^i$ 系数为 $C_2^i$（$i=0,1,2$），$(1-x{)}^4$ 的 $x^{3-i}$ 系数为 $C_4^{3-i}(-1{)}^{3-i}$。故 $x^3$ 的系数为 ${\sum }_{i=0}^2{C}_2^i{C}_4^{3-i}(-1{)}^{3-i}=C_2^1{C}_4^2(-1{)}^2+C_2^2{C}_4^1(-1{)}^1=2\times 6\times 1+1\times 4\times (-1)=12-4=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的系数

核心方法：$(1+x{)}^2(1-x{)}^4$ 中 $x^3$ 系数 $={\sum }_{i=0}^2{C}_2^i{C}_4^{3-i}(-1{)}^{3-i}=C_2^1{C}_4^2(-1{)}^2+C_2^2{C}_4^1(-1{)}^1=12-8=4$

避坑指南：卷积求和定系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，两二项式相乘按卷积求和定系数

方法推广：卷积求和定系数

🔗【关联脉络】

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