1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程

本题导读

本题考查极坐标方程化直角坐标方程，以及极直互化公式。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） 把直角坐标系的原点作为极点，$x$ 轴的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是 ${\rho }^2=\frac{1}{4{\cos }^2\theta -1}$，则它的直角坐标方程是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \cos \theta =x$ 代入。
2. 化简得直角坐标方程。

✅【答案】

Success

$3x^2-y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\rho }^2=\frac{1}{4{\cos }^2\theta -1}$，得 ${\rho }^2(4{\cos }^2\theta -1)=1$，即 $4{\rho }^2{\cos }^2\theta -{\rho }^2=1$。又 $\rho \cos \theta =x$、${\rho }^2=x^2+y^2$，故 $4x^2-(x^2+y^2)=1$，即 $3x^2-y^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程化直角坐标方程

核心方法：${\rho }^2=\frac{1}{4{\cos }^2\theta -1}$，即 ${\rho }^2(4{\cos }^2\theta -1)=1$，$4x^2-(x^2+y^2)=1$，即 $3x^2-y^2=1$

避坑指南：极直互化

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材极坐标

结论推广：一般地，极直互化得直角坐标方程

方法推广：极直互化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-13 填-极坐标方程圆的圆心距
• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1999-上海理-09 填-极坐标方程的焦点