1991-全国文-15 单-圆上点到直线的距离

本题导读

本题考查圆上点到直线的距离，以及用几何法求满足距离条件的点的个数。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 圆 $x^2+2x+y^2+4y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有()

A. $1$ 个　　　　　　　B. $2$ 个　　　　　　　C. $3$ 个　　　　　　　D. $4$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

化标准方程定圆心半径，把距离条件化为两条平行直线与圆的交点。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆方程化为 $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2=8$，圆心 $(-1,-2)$，半径 $2\sqrt{2}$。到直线 $x+y+1=0$ 距离为 $\sqrt{2}$ 等价于 $|x+y+1|=2$，即点落在两条平行直线 $x+y-1=0$ 或 $x+y+3=0$ 上。圆心到 $x+y-1=0$ 的距离为 $\frac{|-1-2-1|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，恰为半径，相切得 1 点；圆心到 $x+y+3=0$ 的距离为 $\frac{|-1-2+3|}{\sqrt{2}}=0$，直线过圆心，得 2 个交点。共 $1+2=3$ 个。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上点到直线的距离

核心方法：圆心 $(-1,-2)$ 半径 $2\sqrt{2}$，距离 $\sqrt{2}$ 等价 $|x+y+1|=2$，两平行线一相切一两交，共 3 点

避坑指南：几何法数交点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上点到直线的距离

结论推广：到直线距离为定值的点集是平行线

方法推广：几何法数点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-09 单-圆上点到直线的距离最值
• 1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程
• 1996-上海理-13 填-极坐标方程圆的圆心距