1994-全国卷文-21 解-三角函数的最值

本题导读

本题考查三角函数的最值。核心在于用三倍角公式化简分子，再用辅助角公式求最小值。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 求函数 $y=\frac{\sin 3x{\sin }^{3}x+\cos 3x{\cos }^{3}x}{{\cos }^{2}2x}+\sin 2x$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用三倍角公式化简 $\sin 3x{\sin }^{3}x+\cos 3x{\cos }^{3}x$。
2. 约分后合并为 $\cos 2x+\sin 2x$，用辅助角求最小值。

✅【答案】

Success

$-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 3x{\sin }^{3}x+\cos 3x{\cos }^{3}x=(\sin 3x\sin x){\sin }^{2}x+(\cos 3x\cos x){\cos }^{2}x$。由 $\sin 3x\sin x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x)$、$\cos 3x\cos x=\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 4x)$，得原式 $=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x){\sin }^{2}x+\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 4x){\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\cos 2x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+\frac{1}{2}\cos 4x({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\cos 4x\cos 2x=\frac{1}{2}\cos 2x(1+\cos 4x)={\cos }^{3}2x$。于是 $y=\frac{{\cos }^{3}2x}{{\cos }^{2}2x}+\sin 2x=\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。故 $y$ 的最小值为 $-\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：$\sin 3x{\sin }^{3}x+\cos 3x{\cos }^{3}x={\cos }^{3}2x$，故 $y=\frac{{\cos }^{3}2x}{{\cos }^{2}2x}+\sin 2x=\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$，最小值为 $-\sqrt{2}$

避坑指南：三倍角化简 + 辅助角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角恒等变形

结论推广：一般地，三倍角化简再辅助角求最值

方法推广：三倍角化简 + 辅助角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值
• 1995-全国卷文-03 单-辅助角公式与最小正周期
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值