1994-全国卷文-13 单-球的截面与表面积

本题导读

本题考查球的截面性质与表面积，以及球心距、截面半径、球半径的关系。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 已知过球面上 $A$，$B$，$C$ 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 $AB=BC=CA=2$，则球面面积是 ()

A.$\frac{16}{9}\pi$　　B.$\frac{8}{3}\pi$　　C.$4\pi$　　D.$\frac{64}{9}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $△ABC$ 外接圆半径。
2. 用 $R^2=r^2+d^2$ 求球半径，再求表面积。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$△ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，其外接圆半径 $r=\frac{2}{\sqrt{3}}$。设球半径为 $R$，球心到截面距离 $d=\frac{R}{2}$，由 $R^2=r^2+d^2=\frac{4}{3}+\frac{R^2}{4}$，得 $\frac{3}{4}{R}^2=\frac{4}{3}$，$R^2=\frac{16}{9}$。球面积 $S=4\pi R^2=\frac{64}{9}\pi$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面与表面积

核心方法：$△ABC$ 外接圆半径 $r=\frac{2}{\sqrt{3}}$，球心到截面距离 $=\frac{R}{2}$，由 $R^2=r^2+(\frac{R}{2}{)}^2$ 得 $R^2=\frac{4}{3}{r}^2=\frac{16}{9}$，球面积 $4\pi R^2=\frac{64}{9}\pi$，选 D

避坑指南：球截面与球心距关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材球的截面

结论推广：一般地，球心距、截面半径、球半径满足勾股

方法推广：球截面与球心距关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积
• 1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球
• 1996-全国卷文-10 单-圆锥的侧面展开与体积