1989-全国文-08 单-球的截面与半径

本题导读

本题考查球的截面与半径的关系，利用勾股定理。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 已知球的两个平行截面的面积分别为 $5\pi$ 和 $8\pi$，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那么这个球的半径是()

A. 4　　　　　　　　　B. 3　　　　　　　　　C. 2　　　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

由截面面积求截面半径，用勾股关系列方程求球半径。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

截面半径分别为 $\sqrt{5}$ 和 $2\sqrt{2}$。设球心到两截面距离为 $d_1,d_2$，则 $d_1^2=R^2-5$，$d_2^2=R^2-8$。面积为 $5\pi$ 的截面半径小、离球心远，故 $d_1-d_2=1$。又 $d_1^2-d_2^2=3$，得 $(d_1-d_2)(d_1+d_2)=3$，即 $d_1+d_2=3$。解得 $d_1=2$，$d_2=1$，$R^2=d_1^2+5=9$，$R=3$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面与半径

核心方法：由截面面积求截面半径，用勾股关系列方程求球半径。

避坑指南：球截面

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球截面勾股关系。

结论推广：d²=R²−r²。

方法推广：同侧距离差

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-13 单-球的截面与表面积
• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比
• 1991-上海-03 填-圆柱与球的体积比