1993-旧高考文-27 解-直三棱柱的线线平行与点到直线的距离

本题导读

本题考查直三棱柱的线线平行与点到直线的距离。核心在于由面面平行得交线平行，再把距离化归为直角三角形的计算。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 如图，$A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 是直三棱柱，过点 $A_1$、$B$、$C_1$ 的平面和平面 $ABC$ 的交线记作 $l$.

(1)判定直线 $A_1{C}_1$ 和 $l$ 的位置关系，并加以证明；

(2)若 $A_{1}A=1$，$AB=4$，$BC=3$，$\angle ABC=90^{\circ }$，求顶点 $A_1$ 到直线 $l$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）平面 $A_1{B}_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABC$，两平行平面与第三平面的交线平行。 2.（2）$l\parallel AC$，作 $AE\perp l$，由三垂线定理逆定理得 $A_{1}E\perp l$。 3. $AE$ 等于 $B$ 到 $AC$ 的距离，由面积法求出后代勾股。

✅【答案】

Success

(1)$A_1{C}_1\parallel l$；(2)距离为 $\frac{13}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $\Pi$ 为过 $A_1$、$B$、$C_1$ 的平面。由直三棱柱性质，平面 $A_1{B}_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABC$。又 $A_1{C}_1=\Pi \cap (A_1{B}_1{C}_1)$，$l=\Pi \cap (ABC)$，同一平面与两平行平面的交线互相平行，故 $A_1{C}_1\parallel l$。 （2）由 $A_1{C}_1\parallel AC$ 得 $l\parallel AC$。作 $A_{1}E\perp l$ 于 $E$，因 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$，由三垂线定理的逆定理得 $AE\perp l$，且 $A_1{E}^2=A_1{A}^2+A{E}^2$。 在 Rt$△ABC$ 中，$AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$，面积 $\frac{1}{2}\times 4\times 3=6$。因 $l\parallel AC$ 且 $B\in l$，$AE$ 等于 $B$ 到直线 $AC$ 的距离 $BD$：$\frac{1}{2}\times AC\times BD=6$，得 $BD=AE=\frac{12}{5}$。 故 $A_{1}E=\sqrt{1^2+(\frac{12}{5}{)}^2}=\sqrt{\frac{169}{25}}=\frac{13}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱的线线平行与点到直线的距离

核心方法：由面面平行的性质定理得 $A_1{C}_1\parallel l$；$A_{1}E=\sqrt{A_1{A}^2+A{E}^2}=\frac{13}{5}$

避坑指南：线线平行转化为两平行平面与第三平面交线的关系，距离通过三垂线定理逆定理化归

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于直三棱柱与面面平行的性质

结论推广：两平行平面与第三平面的交线互相平行

方法推广：点线距离先投影化直角三角形，再用勾股

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-23 解-正三棱柱中的平行与射影
• 2002-新课标文-19甲 解-正三棱柱线面角
• 1996-全国卷文-23 解-正三棱柱中的垂直与体积