1993-旧高考文-11 单-三角不等式与集合交集

本题导读

本题考查三角不等式与集合交集，以及分区间讨论符号。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 已知集合 $E=\{\theta \mid \cos \theta <\sin \theta ,0⩽\theta ⩽2\pi \}$，$F=\{\theta \mid \tan \theta <\sin \theta \}$，那么 $E\cap F$ 为区间 ()

A. \left(\dfrac\pi2,\pi\right)　　　　B. \left(\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4\right)　　　　C. \left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)　　　　D. \left(\dfrac{3\pi}4,\dfrac{5\pi}4\right)

🔍【思路分析】

破题导航

$E=(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$；$\tan \theta -\sin \theta =\frac{\sin \theta (1-\cos \theta )}{\cos \theta }$ 按 $\cos \theta$ 符号分段。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos \theta <\sin \theta$ 得 $\sin (\theta -\frac{\pi }{4})>0$，结合 $0⩽\theta ⩽2\pi$ 得 $E=(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$。$\tan \theta -\sin \theta =\frac{\sin \theta (1-\cos \theta )}{\cos \theta }$，在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 与 $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$ 内为负，故 $F=(\frac{\pi }{2},\pi )\cup (\frac{3\pi }{2},2\pi )$。于是 $E\cap F=(\frac{\pi }{2},\pi )$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角不等式与集合交集

核心方法：$E=(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$；$\tan \theta -\sin \theta =\frac{\sin \theta (1-\cos \theta )}{\cos \theta }$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )\cup (\frac{3\pi }{2},2\pi )$ 为负，$E\cap F=(\frac{\pi }{2},\pi )$

避坑指南：分区间讨论 $\cos \theta$ 的符号，注意正切的定义域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角不等式与集合运算

结论推广：形如 $\tan \theta <\sin \theta$ 的解集需按象限分段讨论

方法推广：集合交集先各自化最简区间再取交

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围
• 1994-上海-15 单-集合包含关系的命题判定
• 1995-上海文-02 单-集合的交并关系判定