1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围

本题导读

本题考查三角不等式，以及由二倍角公式把二次三角函数式化为一倍角。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 若 ${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x$，则 $x$ 的取值范围是 ()

A.$\left\{x\mid 2k\pi -\frac{3\pi }{4}<x<2k\pi +\frac{\pi }{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$　B.$\left\{x\mid 2k\pi +\frac{\pi }{4}<x<2k\pi +\frac{5\pi }{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$

C.$\left\{x\mid k\pi -\frac{\pi }{4}<x<k\pi +\frac{\pi }{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　D.$\left\{x\mid k\pi +\frac{\pi }{4}<x<k\pi +\frac{3\pi }{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项得 ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x>0$。
2. 用 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ 化为 $-\cos 2x>0$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x⟺{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x>0⟺-\cos 2x>0⟺\cos 2x<0$。由 $\cos 2x<0$ 得 $2k\pi +\frac{\pi }{2}<2x<2k\pi +\frac{3\pi }{2}$，即 $k\pi +\frac{\pi }{4}<x<k\pi +\frac{3\pi }{4}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角不等式求取值范围

核心方法：${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x⟺\cos 2x<0⟺2k\pi +\frac{\pi }{2}<2x<2k\pi +\frac{3\pi }{2}$，得 $k\pi +\frac{\pi }{4}<x<k\pi +\frac{3\pi }{4}$，选 D

避坑指南：降次化为倍角不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角不等式

结论推广：一般地，${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x$ 化为 $\cos 2x<0$

方法推广：降次化倍角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.07 常见三角不等式

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-05 单-三角不等式区间
• 2002-新课标文-05 单-三角不等式区间
• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间