1993-新高考文-10 单-不等式性质的判定

本题导读

本题考查不等式性质的判定，以及指数函数单调性的运用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 若 $a,b$ 是任意实数，且 $a>b$，则 ()

A. $a^2>b^2$　　　　B. $\frac{b}{a}<1$　　　　C. $\lg (a-b)>0$　　　　D. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$

🔍【思路分析】

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$y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 递减，由 $a>b$ 得 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$；其余举反例排除。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 是减函数，$a>b$ 推出 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$，D 恒成立。A 反例 $a=-1,b=-2$；B 反例 $a>0>b$ 时 $\frac{b}{a}<0$ 但 $b=-1,a=0$ 时 $\frac{b}{a}$ 无意义且 $a=1,b=-1$ 时 $\frac{b}{a}=-1<1$ 成立但并非必然（取 $b=0$ 则 $\frac{b}{a}=0<1$ 成立，取 $a>b>0$ 时 $\frac{b}{a}<1$ 亦成立，故 B 其实恒成立，排除其余更稳妥）；C 需 $a-b>1$，未必成立。最稳妥地，A、C 均可用反例排除（A：$a=-1,b=-2$ 得 $1>4$ 假；C：$a=1.2,b=1$ 得 $\lg 0.2<0$ 假），故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式性质的判定

核心方法：$y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 递减得 $(\frac{1}{2}{)}^a<(\frac{1}{2}{)}^b$；其余举反例排除

避坑指南：含负数时平方、商与对数命题均未必成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于不等式性质

结论推广：$a>b$ 对幂、商、对数的传递均有条件

方法推广：判断命题用特值反例最快

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围
• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 2000-大纲文-07 单-对数式的比较大小