1991-三南-10 单-正弦不等式的解集

本题导读

本题考查正弦不等式的求解，以及含平移三角不等式的换元与回代。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 满足 $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)⩾\frac{1}{2}$ 的 $x$ 的集合是()

A. $\left\{x\mid 2k\pi +\frac{5\pi }{12}⩽x⩽2k\pi +\frac{13\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　

B. $\left\{x\mid 2k\pi -\frac{\pi }{12}⩽x⩽2k\pi +\frac{7\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\right\}$

C. $\left\{x\mid 2k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x⩽2k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right\}$　

D. $\left\{x\mid 2k\pi ⩽x⩽2k\pi +\frac{\pi }{6}\text{或}2k\pi +\frac{5\pi }{6}⩽x⩽(2k+1)\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

令 $u=x-\pi /4$，先解 $\sin u⩾1/2$ 的区间通式，再回代求 $x$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=x-\frac{\pi }{4}$。由 $\sin u⩾\frac{1}{2}$ 得 $2k\pi +\frac{\pi }{6}⩽u⩽2k\pi +\frac{5\pi }{6}$（$k\in \mathbf{Z}$）。回代得 $2k\pi +\frac{5\pi }{12}⩽x⩽2k\pi +\frac{13\pi }{12}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦不等式的解集

核心方法：令 u=x−π/4，sinu≥1/2 得 2kπ+π/6≤u≤2kπ+5π/6，回代得 2kπ+5π/12≤x≤2kπ+13π/12。

避坑指南：单位圆解三角不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：用单位圆或正弦图象解 sinu≥1/2 得区间通式。

结论推广：含平移的三角不等式先换元再回代。

方法推广：解三角不等式注意周期性与区间通式写法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-13 单-三角不等式与角的范围
• 1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围
• 1993-旧高考文-11 单-三角不等式与集合交集