1989-上海-03 填-三角方程的解集

本题导读

本题考查三角方程的解集，写出通解。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 三角方程 $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ 的解集是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ 得 $\theta =\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$，反解 $x$。

✅【答案】

Success

$\left\{x\mid x=4k\pi +\frac{2\pi }{3}\text{ 或 }x=4k\pi -2\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ 得 $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \pm \frac{2\pi }{3}$。故 $\frac{x}{2}=2k\pi +\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{x}{2}=2k\pi -\pi$，即 $x=4k\pi +\frac{2\pi }{3}$ 或 $x=4k\pi -2\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的解集

核心方法：解三角方程，写出通解。

避坑指南：三角方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程通解。

结论推广：cos(x/2+π/3)=−1/2。

方法推广：周期

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-10 单-三角方程的求解
• 1990-广东理-09 单-三角方程解的个数
• 1991-三南-10 单-正弦不等式的解集