1987-广东理-09 单-三角方程的实根个数

本题导读

本题考查三角方程实根个数。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 在闭区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上，方程 $\frac{1}{|\sin x|}=\sin x-\cos x$ 的不同的实根个数是()

A. $2$　　　　　　　　　B. $3$　　　　　　　　　C. $4$　　　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

左边 $\ge 1$，故右边 $\sin x-\cos x\ge 1$，在 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上分析。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{|\sin x|}\ge 1$，故 $\sin x-\cos x\ge 1$，即 $\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})\ge 1$，得 $x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$。此时 $\sin x>0$，方程化为 $\frac{1}{\sin x}=\sin x-\cos x$，在 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上有 $2$ 个根。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的实根个数

核心方法：$\frac{1}{|\sin x|}=\sin x-\cos x$，右边需 $\ge 1$。

避坑指南：$x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上解，共 $2$ 个实根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角方程根个数。

结论推广：借助函数图象判断交点个数。

方法推广：数形结合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-09 单-三角方程解的个数
• 1989-上海-03 填-三角方程的解集
• 1990-广东理-20 单-三角函数的最小正周期