1992-三南-10 单-三角方程的求解

本题导读

本题考查三角方程的求解，以及二倍角公式化为一元二次方程。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 方程 $\cos 2x=3\cos x+1$ 的解集是 ()

A. $\{x\mid x=2k\pi \pm \frac{2\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\}$　　　B. $\{x\mid x=k\pi \pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\}$　　

　C. $\{x\mid x=k\pi \pm \frac{2\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\}$　　　D. $\{x\mid x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

令 $u=\cos x$，$2u^2-1=3u+1$，即 $2u^2-3u-2=0$，$(2u+1)(u-2)=0$，$|u|\le 1$ 故 $u=-\frac{1}{2}$，$x=2k\pi \pm \frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=\cos x$，由 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 得 $2u^2-1=3u+1$，即 $2u^2-3u-2=0$，$(2u+1)(u-2)=0$。因 $|u|\le 1$，只能 $u=-\frac{1}{2}$，故 $x=2k\pi \pm \frac{2\pi }{3}(k\in \mathbf{Z})$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程的求解

核心方法：$2u^2-3u-2=0$，$u=-\frac{1}{2}$，$x=2k\pi \pm \frac{2\pi }{3}$

避坑指南：换元解一元二次

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：倍角公式解三角方程

结论推广：$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，注意 $|u|\le 1$ 舍根

方法推广：换元降次

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1995-上海文-03 单-三角方程解的个数
• 1996-上海文-11 填-三角方程的解
• 1992-全国文-11 单-正弦不等式的区间