1989-全国卷理-13 填-三角方程的解集

本题导读

本题考查辅助角公式（两角和与差的正弦公式），以及三角方程的求解。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 方程 $\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 辅助角化简： 观察方程左边 $\sin x-\sqrt{3}\cos x$，利用辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$ 进行化简，提取系数 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$。
2. 求解基本角： 化简后方程变为 $\sin (x-\phi )=\frac{\sqrt{2}}{2}$。根据正弦函数的性质，找出使正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的基本角。
3. 书写通解与解集： 结合正弦函数的周期性（$2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$）分别列出两组通解表达式，并严格按照集合的规范格式书写最终答案。

✅【答案】

Success

$x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi$ 或 $x=\frac{13\pi }{12}+2k\pi$，$k\in \mathbf{Z}$

✍【详细解析】

Abstract

利用辅助角公式，对方程左端进行化简： $\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$ $=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

将化简后的结果代入原方程： $2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}⟹\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

根据正弦函数的性质，由 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 可知 $\theta$ 的核心解有两种表现形式： $\text{第一组：}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\text{第二组：}x-\frac{\pi }{3}=\left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{4}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $x=\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹x=\frac{13\pi }{12}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

也可以统一归纳为： $x=k\pi +(-1{)}^k\cdot \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

题目要求书写形式为“解集”，故须用集合符号表示。

答案：$\left\{x|x=2k\pi +\frac{7\pi }{12},\text{ 或 }x=2k\pi +\frac{13\pi }{12},k\in \mathbb{Z}\right\}$ （或 $\left\{x|x=k\pi +\frac{\pi }{3}+(-1{)}^k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\right\}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 辅助角公式的符号与数值对应，三角方程通解的严谨分类。
2. 核心方法： * 名次统一法： 通过 $\sin (x-\phi )$ 的整体换元法，将复杂的波动相干方程降维为最基础的三角比求解。
3. 避坑指南： * 格式错误： 题目明确指出求的是“解集”，若只写了解的表达式而没有加集合大括号 $\{\}$ 及自变量声明，在阅卷中会被直接判错。
   • 漏解： 正弦方程 $\sin \theta =m$ ($|m|<1$) 在一个周期内通常对应两个不同的角位置（第一、二象限或第三、四象限），容易漏掉 $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ 这一分支的通解。
   • 辅助角象限看错： $\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin (x-\frac{\pi }{3})$，注意减号不要错套成加号公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于经典的三角恒等变换基础运算题，源于教材中对辅助角公式以及初等超越方程求解的直接考查。
2. 结论推广： 对于任意形如 $A\sin x+B\cos x=C$ （满足 $A^2+B^2\ge C^2$）的方程，通用解法均是通过引入辅助角 $\tan \phi =\frac{B}{A}$（依 $A,B$ 符号决定 $\phi$ 所在象限）化为： $\sin (x+\phi )=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 进而通过反三角函数或特殊角归纳出两组关于周期 $2k\pi$ 的标准通解分支。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-10 单-三角方程的求解
• 1992-全国卷理-04 单-三角方程的求解
• 1990-广东理-09 单-三角方程解的个数