1990-上海卷-22 解-三角方程的解

本题导读

本题考查无理方程的解法（两边平方）、三角恒等变换（倍角公式、同角三角函数关系）。核心在于移项平方消根号法、换元法（代数化简）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 求方程 $\sqrt{5}\cos x+\cos 2x+\sin x=0$ 在 $[0,2\pi )$ 上的解.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一变量：令 $s=\sin x,c=\cos x$，把 $\cos 2x=2c^2-1$ 代入，将方程化为 $s,c$ 的代数式．
2. 消元降次：利用 $s^2+c^2=1$ 消去 $c$，得到关于 $s$ 的方程；再平方化为整式方程，因式分解求解．
3. 验根与反解：由 $s$ 求出对应的 $x$，结合 $x\in [0,2\pi )$ 与根式非负约束确定最终解集．

✅【答案】

Success

$x=\frac{\pi }{2}$，及 $x=2\pi +\arcsin s_0$（其中 $s_0$ 是方程 $2s^3+s+2=0$ 的唯一实根）

✍【详细解析】

Abstract

令 $s=\sin x,c=\cos x$，则 $\cos 2x=2c^2-1$，原方程化为 $2c^2-1+\sqrt{5}c+s=0.$ 利用 $c^2=1-s^2$ 代入，得 $\sqrt{5}c=2s^2-s-1$．再由 $s^2+c^2=1$，两边平方得 $(2s^2-s-1{)}^2=5(1-s^2).$ 展开整理并因式分解： $(1-s)\left[(1-s)(2s+1{)}^2-5(1+s)\right]=0.$

若 $s=1$，则 $c=0$，得 $x=\frac{\pi }{2}$．

若 $s\ne 1$，则 $(1-s)(2s+1{)}^2-5(1+s)=0$，化简得 $2s^3+s+2=0$．设其根为 $s_0$，由导数 $6s^2+1>0$ 知该方程有唯一实根，且因函数在 $s=-1$ 处取值 $-1$、在 $s=0$ 处取值 $2$，知 $s_0\in (-1,0)$．此时 $c=\frac{2s_0^2-s_0-1}{\sqrt{5}}>0$，对应角在第四象限，故 $x=2\pi +\arcsin s_0$．

因此原方程在 $[0,2\pi )$ 上的解为 $x=\frac{\pi }{2}$ 及 $x=2\pi +\arcsin s_0$，其中 $s_0$ 是方程 $2s^3+s+2=0$ 的唯一实根．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角方程与无理方程的等价变形，二倍角公式与同角关系的应用，反三角符号在特定象限的精确表达。

核心方法：统一变量、消元降次、因式分解求根，并结合根式非负约束验根。

避坑指南：两边平方可能产生增根，必须结合约束条件检验；对高次方程的根要结合单调性说明唯一性．

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于三角方程中的综合题，考查三角恒等变形与方程求解的严密性。

结论推广：对形如 $\sqrt{a}\cos x+\cos 2x+\sin x=0$ 的方程，可统一化为关于 $s=\sin x$ 的方程求解，注意增根检验．

方法推广：先约束、后平方、再验根．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-04 单-三角方程的求解
• 1992-三南-10 单-三角方程的求解
• 1992-全国卷理-12 单-三角不等式的解