1993-上海-08 填-等比数列与无穷级数求和

本题导读

本题考查等比数列与无穷等比级数求和，以及等比中项的应用。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 已知等比数列 $\{a_n\}$（$a_n\in \mathbf{R}$），$a_1+a_2=9$，$a_1\cdot a_2\cdot a_3=27$，且 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$（$n=1,2,\cdots$），则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_2^3=27$ 得 $a_2=3$，$a_1=6$，$q=\frac{1}{2}$，$S=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=12$。

✅【答案】

Success

$12$

✍【详细解析】

Abstract

由等比中项 $a_2^2=a_1{a}_3$ 得 $a_1{a}_2{a}_3=a_2^3=27$，故 $a_2=3$。又 $a_1+a_2=9$，得 $a_1=6$，公比 $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{2}$。因 $|q|<1$，${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与无穷级数求和

核心方法：$a_2^3=a_1{a}_2{a}_3=27$ 得 $a_2=3$，$a_1+a_2=9$ 得 $a_1=6$，$q=\frac{1}{2}$，$S=\frac{6}{1-\frac{1}{2}}=12$

避坑指南：等比中项先定中间项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列与级数

结论推广：等比中项 $a_k^2=a_{k-1}{a}_{k+1}$

方法推广：无穷等比级数求和用公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海-26 解-等比数列与递推数列的最值
• 1993-旧高考文-07 单-等比数列与对数求和
• 1995-上海文-12 填-对数换底与无穷等比级数