1992-全国文-18 单-长方体的对角线

本题导读

本题考查长方体的对角线，以及代数式的配凑。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 已知长方体的全面积为 $11$，十二条棱长度之和为 $24$，则这个长方体的一条对角线长为 ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　　　B. $\sqrt{14}$　　　　　　　　　C. 5　　　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

$2(ab+bc+ca)=11$、$4(a+b+c)=24$，对角线${}^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)=36-11=25$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设长方体三棱 $a,b,c$。全面积 $2(ab+bc+ca)=11$；棱长和 $4(a+b+c)=24$，得 $a+b+c=6$。对角线 $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，而 $a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)=36-11=25$，故 $l=5$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体的对角线

核心方法：全面积 $2(ab+bc+ca)=11$，棱长和 $4(a+b+c)=24$，对角线 $\sqrt{(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)}=5$

避坑指南：$(a+b+c{)}^2$ 展开配对角线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于长方体对角线

结论推广：对角线${}^2$=$a^2+b^2+c^2$

方法推广：$(a+b+c{)}^2$ 展开配出对角线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-03 单-长方体的对角线长
• 1997-全国卷文-08 单-长方体的外接球
• 2000-新课标卷文-03 单-长方体的对角线长