2000-大纲理-03 单-长方体对角线

本题导读

本题考查长方体的结构特征，以及勾股定理。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，这个长方体对角线的长是()

A. $2\sqrt{3}$ B. $3\sqrt{2}$ C. $6$ D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设三棱长 $x,y,z$，则 $xy=\sqrt{2}$，$yz=\sqrt{3}$，$zx=\sqrt{6}$，三式相乘可解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设长方体的三条棱长分别为 $x$，$y$，$z$，则 $xy=\sqrt{2}$，$yz=\sqrt{3}$，$zx=\sqrt{6}$. 由此得 $x^2=\frac{(xy)(xz)}{yz}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2$，同理 $y^2=1$，$z^2=3$. 所以长方体对角线长为 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2+1+3}=\sqrt{6}$. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体对角线公式 $l=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

核心方法：设棱长、由面积列方程组

避坑指南：三式相乘得 $(xyz{)}^2=6$ 后也可逐一解出，注意 $x^2=\frac{(xy)(xz)}{yz}$ 的整体代换技巧

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是长方体对角线的经典题，考查空间几何量与方程思想的结合.

2. 结论推广：长方体对角线 $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$；已知三个面的面积时可整体代换求 $a^2,b^2,c^2$.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-03 单-反函数值的求法
• 2000-大纲文-03 单-长方体的对角线长
• 1992-全国文-18 单-长方体的对角线