1999-全国卷理-03 单-反函数值的求法

本题导读

本题考查反函数的概念，以及原函数与反函数变量互换的关系。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 的反函数是 $y=g(x)$，$f(a)=b$，$ab\ne 0$，则 $g(b)$ 等于()

A. $a$　　　　　　　B. $a^{-1}$　　　　　　　C. $b$　　　　　　　D. $b^{-1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确反函数的定义：若函数 $y=f(x)$ 存在反函数 $x=f^{-1}(y)$，其表达形式通常改写为以 $x$ 为因变量、 $y$ 为自变量的形式。题中已知 $y=g(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数，即 $g$ 与 $f^{-1}$ 具有等价的运算规则。
2. 运用互换性质转化：根据反函数的核心特征，若原函数包含点 $(a,b)$，即 $f(a)=b$，则其反函数必然包含对称点 $(b,a)$，即 $f^{-1}(b)=a$。
3. 代入化简得出结论：将 $g(x)$ 替换为 $f^{-1}(x)$，直接得出 $g(b)$ 的值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据反函数的定义： 设函数 $y=f(x)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$。已知 $y=g(x)$ 是其反函数，故： $g(x)=f^{-1}(x)$

依据原函数与反函数的自变量、因变量互换性质： $y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)$

题目已知： $f(a)=b$ 这表明当原函数的自变量 $x=a$ 时，对应的因变量 $y=b$。

将此对应关系带入反函数的互换性质中，直接可得： $f^{-1}(b)=a$

因为 $g(x)=f^{-1}(x)$，所以将 $b$ 代入反函数 $g(x)$ 中有： $g(b)=f^{-1}(b)=a$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的基本性质，即原函数上的点 $(a,b)$ 与反函数上的点 $(b,a)$ 互为关于直线 $y=x$ 对称的映射关系。
2. 核心方法：定义直接法。无须关注函数 $f(x)$ 的具体解析式，直接通过符号逻辑转化。
3. 避坑指南：

• 切勿受到条件 $ab\ne 0$ 的误导而错选含有负指数幂的 B、D 选项。本题中的 $ab\ne 0$ 仅作为确保该点不在坐标轴上的完备性非空说明，与倒数（幂次运算）无任何代数关联。
• 牢记基础变换关系：$f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自新教材中“反函数”一节中最基础的性质定理辨析，属于高考小题中的概念送分题。
2. 结论推广：对于任意存在反函数 $f^{-1}(x)$ 的可逆映射 $f:X\to Y$，恒有复合恒等式： $f^{-1}(f(x))=x(\forall x\in X)$ $f(f^{-1}(y))=y(\forall y\in Y)$ 本题中求 $g(b)$ 即求 $f^{-1}(b)$，直接将 $b=f(a)$ 代入复合恒等式左侧即可直接得出：$f^{-1}(f(a))=a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-17 单-反函数的求解
• 1986-全国文-02 单-反函数的求解
• 1984-全国文-02 单-反函数图象的对称性