1992-全国文-16 单-双曲函数的反函数

本题导读

本题考查反函数的奇偶性与单调性，以及原函数与反函数性质的对应。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 函数 $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的反函数 ()

A. $是奇函数，它在(0,+\infty )上是减函数$

B. $是偶函数，它在(0,+\infty )上是减函数$

C. $是奇函数，它在(0,+\infty )上是增函数$

D. $是偶函数，它在(0,+\infty )上是增函数$

🔍【思路分析】

破题导航

原函数是奇函数且递增，反函数同为奇函数且递增。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

原函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$（双曲正弦）满足 $f(-x)=-f(x)$，是奇函数，且在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。反函数与原函数有相同的奇偶性（奇函数的反函数仍是奇函数）和相同的单调性（增函数的反函数仍是增函数）。故反函数是奇函数且在 $(0,+\infty )$ 上增，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲函数的反函数

核心方法：$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 是奇函数，反函数 $y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 在 $(0,+\infty )$ 增

避坑指南：奇函数反函数仍奇，单调性保持

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于反函数

结论推广：奇函数反函数仍奇，单调保持

方法推广：原函数与反函数性质对应

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-05 填-反余弦函数的反函数
• 1998-全国卷文-05 单-反函数的求法
• 1995-全国卷文-11 单-对数型复合函数的单调性