1992-三南-04 单-对数函数的反函数

本题导读

本题考查对数函数的反函数，以及交换变量反解的基本方法。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)(x<1)$ 的反函数是 ()

A. $y=1+2^{-x}(x\in \mathbf{R})$　　B. $y=1-2^{-x}(x\in \mathbf{R})$　　C. $y=1+2^x(x\in \mathbf{R})$　　D. $y=1-2^x(x\in \mathbf{R})$

🔍【思路分析】

破题导航

交换 $x,y$：$x={\log }_{1/2}(1-y)$，即 $(1/2{)}^x=1-y$，反函数 $y=1-2^{-x}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)$，交换 $x$ 与 $y$ 得 $x={\log }_{\frac{1}{2}}(1-y)$，即 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=1-y$，解得 $y=1-2^{-x}$。故反函数为 $y=1-2^{-x}(x\in \mathbf{R})$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的反函数

核心方法：交换 $x,y$ 得 $x={\log }_{1/2}(1-y)$，反函数 $y=1-2^{-x}$

避坑指南：反解出 $y$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数反函数的典型题

结论推广：$y={\log }_{a}x$ 的反函数是 $y=a^x$

方法推广：交换变量反解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-16 单-双曲函数的反函数
• 1993-上海-05 填-反余弦函数的反函数
• 1993-新高考文-21 填-反函数值的求法