1991-三南-08 单-正弦函数的反函数

本题导读

本题考查正弦函数在特定区间上反函数的求法，以及反三角函数的定义。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 函数 $y=\sin x$，$x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ 的反函数为()

A. $y=\arcsin x$，$x\in [-1,1]$　　　　　　 B. $y=-\arcsin x$，$x\in [-1,1]$

C. $y=\pi +\arcsin x$，$x\in [-1,1]$　　　　　　 D. $y=\pi -\arcsin x$，$x\in [-1,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

在区间 $[\pi /2,3\pi /2]$ 上 $y=\sin x$ 单调递减，反解 $x$ 换字母得反函数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ 上 $y=\sin x$ 单调递减。由 $y=\sin x$ 得 $x=\pi -\arcsin y$，交换 $x$、$y$ 得反函数 $y=\pi -\arcsin x$，定义域 $[-1,1]$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦函数的反函数

核心方法：在[π/2,3π/2]上 y=sinx 单调递减，反函数为 y=π−arcsinx，x∈[−1,1]。

避坑指南：反函数定义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数需在单调区间上定义，arcsin 主值在[−π/2,π/2]。

结论推广：正弦函数在不同单调区间反函数表达式不同。

方法推广：π−arcsinx、π+arcsinx 等由主值区间平移得到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-04 单-对数函数的反函数
• 1993-上海-05 填-反余弦函数的反函数
• 1992-上海-08 填-反函数与定义域