1991-上海-17 单-反三角函数的比较

本题导读

本题考查反三角函数的大小比较，利用其单调性与符号。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 下列四个式子中，正确的是()

A. $\sin \left(\arccos \frac{2}{3}\right)>\sin \left(\arccos \frac{1}{3}\right)$　　B. $\tan \left(\arccos \frac{2}{3}\right)>\tan \left(\arccos \frac{1}{3}\right)$　　

C. $\sin \left[\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right]>\sin \left[\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right]$　　D. $\tan \left[\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right]>\tan \left[\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

利用 arccos 递减及 tan、sin 在区间上的单调性逐项判断。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\arccos x$ 在 $[-1,1]$ 递减。$\arccos \frac{2}{3}<\arccos \frac{1}{3}$，而 $\sin$ 在 $[0,\pi /2]$ 递增，故 $\sin (\arccos \frac{2}{3})<\sin (\arccos \frac{1}{3})$，A 错。同理 $\arccos (-\frac{2}{3})>\arccos (-\frac{1}{3})$ 均在 $(\pi /2,\pi )$，$\tan$ 在此区间为负且 $\tan$ 递增，故 $\tan (\arccos (-\frac{2}{3}))>\tan (\arccos (-\frac{1}{3}))$，D 正确。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的比较

核心方法：借助反三角函数的单调性与区间符号比较大小。

避坑指南：反三角函数单调性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角函数在其主值区间上单调。

结论推广：arccos x 在 [−1,1] 上递减。

方法推广：注意符号与单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-14 单-反三角函数的大小比较
• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1992-上海-18 单-反三角函数的值域