1990-广东理-34 解-含参对数不等式

本题导读

本题考查含参对数不等式的证明与参数范围的求解。核心在于先定定义域，再比较 $2f(x)$ 与 $f(2x)$。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 设 $f(x)=\lg \frac{1+2^x+4^{x}a}{3}$，其中 $a\in \mathbf{R}$.

(1)如果 $0<a\le 1$，求证：当 $x\ne 0$ 时，有 $2f(x)<f(2x)$；

(2)如果当 $x\in (-\infty ,1]$ 时 $f(x)$ 有意义，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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（1）用基本不等式比较真数；（2）化为 $1+2^x+4^{x}a>0$ 恒成立，分离参数求范围。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$a>-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）记 $p=1$，$q=2^x$，$r=4^{x}a$。因 $x\ne 0$，$p\ne q$，故 $p^2+q^2>2pq$；又 $q^2+r^2\ge 2qr$，$r^2+p^2\ge 2rp$。因此 $\frac{1}{9}(p+q+r{)}^2<\frac{1}{9}(p^2+q^2+r^2+p^2+q^2+q^2+r^2+r^2+p^2)=\frac{1}{3}(p^2+q^2+r^2)=\frac{1}{3}(1+2^{2x}+4^{2x}{a}^2)\le \frac{1}{3}(1+2^{2x}+4^{2x}a)$。因 $0<a\le 1$ 各步有意义且 $\lg$ 递增，故 $2f(x)<f(2x)$。

（2）$x\in (-\infty ,1]$ 时 $f(x)$ 有意义，需 $1+2^x+4^{x}a>0$。因 $4^x>0$，等价于 $a>-\left[{\left(\frac{1}{4}\right)}^x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right]$。函数 $-{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 在 $(-\infty ,1]$ 上递增，在 $x=1$ 时取最大值 $-\frac{3}{4}$。故所求范围为 $a>-\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参对数不等式

核心方法：先定定义域，比较 2f(x) 与 f(2x)。

避坑指南：对数不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式先定定义域。

结论推广：1+2ˣ+4ˣa>0。

方法推广：分离参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解
• 1991-全国文-18 填-对数不等式的求解