1988-广东理-34 解-反函数与数列不等式

本题导读

本题考查反函数求法及数列不等式的证明。核心在于求反函数后通过放缩累加证 $S_n<2^n-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n$。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 设 $a>0$，$a\ne 1$，$f(x)={\log }_a(x+\sqrt{x^2-1})$（$x⩾1$）.

(1)求函数 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 和这个反函数的定义域；

(2)记 $b_n=f^{-1}(n)$，$S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$，求证：当 $\frac{1}{2}<a<2$ 时，对任意自然数 $n$，都有 $S_n<2^n-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由 $x+\sqrt{x^2-1}=a^y$ 及倒数关系求反函数；（2）用 $a^n<2^n$ 放缩。

✅【答案】

Success

(1)$f^{-1}(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$，定义域：$a>1$ 时 $[0,+\infty )$，$0<a<1$ 时 $(-\infty ,0]$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $y={\log }_a(x+\sqrt{x^2-1})$ 得 $x+\sqrt{x^2-1}=a^y$。又 $(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})=1$，故 $x-\sqrt{x^2-1}=a^{-y}$，两式相加得 $x=\frac{a^y+a^{-y}}{2}$，故反函数 $f^{-1}(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$。因 $x\ge 1$ 时 $x+\sqrt{x^2-1}\ge 1$，当 $a>1$ 时值域为 $[0,+\infty )$，当 $0<a<1$ 时值域为 $(-\infty ,0]$，即反函数定义域分别为 $[0,+\infty )$ 与 $(-\infty ,0]$。 （2）因 $\frac{1}{2}<a<2$，故 $a^n<2^n$ 且 $a^{-n}<2^n$，于是 $b_n=\frac{a^n+a^{-n}}{2}<\frac{2^n+2^n}{2}=2^n$，更精确地，$\frac{1}{2}(a^n+a^{-n})<\frac{1}{2}(2^n+2^{-n})$。故 $S_n<\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^n(2^k+2^{-k})=\frac{1}{2}(2^{n+1}-2)+\frac{1}{2}\cdot \frac{2^{-1}(1-2^{-n})}{1-2^{-1}}=2^n-1+\frac{1}{2}(1-2^{-n})=2^n-\frac{1}{2}(1+2^{-n})$。又 $\frac{1}{2}(1+2^{-n})>\sqrt{2^{-n}}=(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n$，故 $S_n<2^n-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数与数列不等式

核心方法：反函数 $f^{-1}(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$，定义域随 $a$ 分 $[0,+\infty )$ 与 $(-\infty ,0]$；用 $\frac{1}{2}(a^n+a^{-n})<\frac{1}{2}(2^n+2^{-n})$ 累加证 $S_n<2^n-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n$。

避坑指南：$\frac{1}{2}<a<2$ 时 $a^n<2^n$ 且 $a^{-n}<2^n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数与不等式。

结论推广：放缩累加。

方法推广：$a^n<2^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-34 解-含参对数不等式
• 1989-广东理-05 单-指数函数的反函数
• 1990-广东理-19 单-等比数列的前n项和