1990-广东理-23 单-正方体顶点构成四面体的计数

本题导读

本题考查以正方体顶点为顶点的四面体计数，注意排除共面情形。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 ()

A. 70 个　　　　　　　B. 64 个　　　　　　　C. 58 个　　　　　　　D. 52 个

🔍【思路分析】

破题导航

从 8 个顶点选 4 个，排除四点共面的情形。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

从 8 个顶点选 4 个，共 ${\mathrm{C}}_8^4=70$ 种。四点共面的情形：正方体的 6 个面各 ${\mathrm{C}}_4^4=1$ 个，6 个对角面各 ${\mathrm{C}}_4^4=1$ 个，共 $6+6=12$ 个。故四面体数为 $70-12=58$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体顶点构成四面体的计数

核心方法：从8个顶点选4个构成四面体，排除共面情形。

避坑指南：组合计数排除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四面体需四点不共面。

结论推广：C(8,4)-6×C(4,4)。

方法推广：排除6个面

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-15 单-正三棱柱中的四面体计数
• 1992-全国文-22 填-子集与组合计数
• 1993-新高考文-20 填-按奇偶性分类的组合计数