1990-广东文-25 单-圆上点的最值

本题导读

本题考查圆上点与原点连线的斜率最值，利用几何意义。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 如果实数 $x,y$ 满足等式 $(x-2{)}^2+y^2=3$，那么 $\frac{y}{x}$ 的最大值是 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{y}{x}$ 是圆上点与原点连线的斜率，用切线斜率求最值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $k=\frac{y}{x}$，则 $y=kx$，即直线 $y=kx$ 与圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 有公共点。圆心 $(2,0)$ 到直线 $kx-y=0$ 的距离 $d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}\le \sqrt{3}$，平方得 $4k^2\le 3(k^2+1)$，$k^2\le 3$，故 $|k|\le \sqrt{3}$，最大值为 $\sqrt{3}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上点的最值

核心方法：y/x 是点与原点连线的斜率，用几何意义求最值。

避坑指南：圆的几何意义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：y/x 是斜率。

结论推广：切线斜率最值。

方法推广：几何意义

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-19 填-圆上的最值问题
• 1992-上海-19 单-极坐标中直线与圆
• 1992-上海-23 解-动点轨迹方程