1987-广东理-05 单-圆上点到直线的距离

本题导读

本题考查圆上点到直线距离最小的点。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 在圆 $x^2+y^2=4$ 上，与直线 $4x+3y-12=0$ 距离最小的点的坐标是()

A. $(\frac{8}{5},\frac{6}{5})$　　　　　B. $(\frac{8}{5},-\frac{6}{5})$　　　　　C. $(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$　　　　　D. $(-\frac{8}{5},-\frac{6}{5})$

🔍【思路分析】

破题导航

最近点沿圆心到直线的垂线方向，圆心 $(0,0)$ 沿法向量 $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

圆心到直线的垂足方向单位向量 $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$，圆上最近点 $(2\cdot \frac{4}{5},2\cdot \frac{3}{5})=(\frac{8}{5},\frac{6}{5})$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆上点到直线的距离

核心方法：圆心到直线的距离，最近点沿法线方向。

避坑指南：圆心 $(0,0)$，最近点 $(\frac{8}{5},\frac{6}{5})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上点到直线距离。

结论推广：最近点沿圆心到直线的垂线方向。

方法推广：点到直线距离公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-22 单-圆上点的最值
• 1989-全国文-07 单-直线关于点的对称
• 1990-广东文-25 单-圆上点的最值