1990-全国文-02 单-三角函数的平方和求值

本题导读

本题考查三角函数平方和与乘积的求值，利用诱导公式与特殊角。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） ${\cos }^{2}75^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }+\cos 75^{\circ }\cos 15^{\circ }$ 的值等于 ()

A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　　C. $\frac{5}{4}$　　　　　　　　D. $1+\frac{\sqrt{3}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

利用 $\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$ 及恒等式化简。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$，故原式 $={\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }+\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=1+\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的平方和求值

核心方法：利用三角恒等式把平方和化为一次式求值。

避坑指南：三角恒等变形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平方和求值是三角恒等变形的典型应用。

结论推广：cos²x+cos²y+cosx·cosy 可配方。

方法推广：利用特殊角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-24 解-三角恒等变形求值
• 1993-新高考文-08 单-三角恒等变形求值
• 1991-全国文-01 单-同角三角函数基本关系