1987-上海-15 单-比较大小

本题导读

本题考查实数比较大小。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设实数 $a$，$b$ 满足 $0<a<b$ 且 $a+b=1$，则下列四数中最大的是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　B. $a^2+b^2$　　　　　　　　C. $2ab$　　　　　　　　D. $a$

🔍【思路分析】

破题导航

$a^2+b^2=2(a-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$，而 $2ab<\frac{1}{2}$、$a<\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=1-2ab$。因 $a<b$ 且 $a+b=1$，$a<\frac{1}{2}$，故 $a^2+b^2=2(a-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$；$2ab<2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$；$a<\frac{1}{2}$。最大为 $a^2+b^2$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：比较大小

核心方法：$0<a<b,a+b=1$，则 $a^2+b^2=2(a-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$。

避坑指南：$a^2+b^2>\frac{1}{2}>2ab$ 与 $a$，最大为 $a^2+b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比较大小。

结论推广：$a^2+b^2>\frac{1}{2}$（$a+b=1,a\ne b$）。

方法推广：配方法求最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1989-上海-13 单-不等关系的判断
• 1988-上海-19 单-指数式大小比较
• 1990-全国文-02 单-三角函数的平方和求值