1989-广东理-19 单-半角公式与正切

本题导读

本题考查半角公式与万能公式，用 $\tan \frac{A}{2}$ 表示三角函数。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 如果 $\tan \frac{A}{2}=\frac{m}{n}$，那么 $m\cos A-n\sin A=$()

A. $n$　　　　　　　　　B. $-n$　　　　　　　　　C. $-m$　　　　　　　　　D. $m$

🔍【思路分析】

破题导航

用万能公式把 $\cos A,\sin A$ 用 $t=\frac{m}{n}$ 表示，代入化简。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $t=\tan \frac{A}{2}=\frac{m}{n}$，则 $\cos A=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$\sin A=\frac{2t}{1+t^2}$。$m\cos A-n\sin A=\frac{m(1-t^2)-n\cdot 2t}{1+t^2}$。代入 $t=\frac{m}{n}$：分子 $=m-\frac{m^3}{n^2}-2m=m\left(-1-\frac{m^2}{n^2}\right)$，分母 $=1+\frac{m^2}{n^2}=\frac{n^2+m^2}{n^2}$。故原式 $=m\cdot \frac{-\frac{n^2+m^2}{n^2}}{\frac{n^2+m^2}{n^2}}=-m$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式与正切

核心方法：$\cos A=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$\sin A=\frac{2t}{1+t^2}$，$t=\frac{m}{n}$。

避坑指南：代入化简得 $-m$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：万能公式。

结论推广：$\cos A,\sin A$ 用 $\tan \frac{A}{2}$ 表示。

方法推广：万能公式推导。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-26 填-半角公式求值
• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断