1993-旧高考理-02 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查二倍角公式（余弦的万能公式），以及三角函数的周期性。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 函数 $y=\frac{1-{\tan }^{2}2x}{1+{\tan }^{2}2x}$ 的最小正周期是 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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识别公式结构：本题结构符合余弦的二倍角万能公式通式 $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。 恒等变换化简：令 $\theta =2x$，逆用万能公式可将原函数直接化简为 $y=\cos 4x$。 计算最小正周期：利用余弦函数 $y=\cos (\omega x+\phi )$ 的最小正周期计算公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（逆用万能公式法）： 熟记三角函数的万能公式可知： $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$

将原函数中的 $2x$ 视作整体角度 $\theta$，直接逆用上述公式进行化简： $y=\frac{1-{\tan }^{2}2x}{1+{\tan }^{2}2x}=\cos (2\times 2x)=\cos 4x$

对于余弦函数 $y=\cos 4x$，其 $\omega =4$。 根据三角函数的周期公式，其最小正周期 $T$ 为： $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

故选 B

方法二（切化弦通用基本功法）： 若不熟悉万能公式，可利用同角三角函数关系将正切化为正弦和余弦（切化弦）： $y=\frac{1-\frac{{\sin }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x}}{1+\frac{{\sin }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x}}$

分子与分母同时乘以 ${\cos }^{2}2x$： $y=\frac{{\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x}$

根据同角平方关系 ${\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x=1$，以及余弦倍角公式 ${\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x=\cos 4x$，代入得： $y=\frac{\cos 4x}{1}=\cos 4x$

计算周期同方法一， $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦二倍角公式的各种变体变形，余弦函数 $y=\cos \omega x$ 的周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。
2. 核心方法：切化弦通用化简法、整体代换法。
3. 避坑指南：
   • 极易盲目认为原式中的“$2x$”即为最终的 $\omega$，从而错算为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$（误选 C）。
   • 注意正切函数本身的定义域限制（$2x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$），虽然在本题求周期时不影响最终数值，但在大题中需注意其非连续性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角恒等变换与函数性质交汇的经典基础题。取材于高中三角函数教材中“二倍角公式与万能公式”的课后综合提能练习。
2. 结论推广：对于形如 $y=\frac{1-{\tan }^2(\omega x)}{1+{\tan }^2(\omega x)}$ 的函数，其本质通过万能公式等价转换为标准单弦函数 $y=\cos (2\omega x)$，其最小正周期的通用推广通式为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。本题中 $\omega =2$，代入推广直接口算得 $T=\frac{\pi }{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期
• 1989-广东理-19 单-半角公式与正切