1989-全国文-20 解-三角恒等式的证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于用正切差公式与积化和差公式。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 证明：$\tan \frac{3x}{2}-\tan \frac{x}{2}=\frac{2\sin x}{\cos x+\cos 2x}$.

🔍【思路分析】

破题导航

用正切差公式，再用积化和差公式化简分母。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

在等式两边有定义的范围内，由正切差公式，$\tan \frac{3x}{2}-\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \left(\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right)}{\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\frac{\sin x}{\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}}$。再由积化和差，$\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{\cos 2x+\cos x}{2}$。代入即得 $\tan \frac{3x}{2}-\tan \frac{x}{2}=\frac{2\sin x}{\cos x+\cos 2x}$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的证明

核心方法：用正切差公式与积化和差证明恒等式。

避坑指南：三角恒等变形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正切差公式与积化和差。

结论推广：tan A−tan B=sin(A−B)/(cosA cosB)。

方法推广：定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1991-上海-15 单-三角恒等式的真假判断
• 1991-全国文-04 单-三角恒等变形与周期
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数