1985-全国文-12 解-三角恒等式的证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于二倍角与三倍角公式的展开。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 证明三角恒等式：$2{\sin }^{4}x+\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x+5{\cos }^{4}x-\cos 3x\cos x=2(1+{\cos }^{2}x)$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x=3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$，$\cos 3x\cos x=4{\cos }^{4}x-3{\cos }^{2}x$，合并因式分解。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 和 $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$，可得 $\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x=3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 以及 $\cos 3x\cos x=4{\cos }^{4}x-3{\cos }^{2}x$。因此原式左边为 $2{\sin }^{4}x+3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x+3{\cos }^{2}x$。又因为 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，所以 $2{\sin }^{4}x+3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)(2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$。从而原式左边等于 $2{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+2{\cos }^{2}x=2(1+{\cos }^{2}x)$，即得所证恒等式。注意右端是 $2(1+{\cos }^{2}x)$，$2$ 在余弦上而不在角上；若写成 $2(1+\cos 2x)$，代 $x=\frac{\pi }{4}$ 一验便知左边为 $3$、右边为 $2$，等式不成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的证明

核心方法：$\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x=3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$，$\cos 3x\cos x=4{\cos }^{4}x-3{\cos }^{2}x$。

避坑指南：右端是 $2(1+{\cos }^{2}x)$，上标 $2$ 在余弦上、不在角上。左边化简到 $2{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x=2+2{\cos }^{2}x$ 才能收口；写成 $\cos 2x$ 就对不上——代 $x=\frac{\pi }{4}$，左边为 $3$、右边为 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 全国文第 21 题同考恒等式证明。

结论推广：${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$、三倍角公式是展开工具。

方法推广：证明恒等式从复杂一侧化简，或作差为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-21 解-三角恒等式的证明
• 1989-全国文-20 解-三角恒等式的证明