1977-山西-05 解-三角恒等式证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于用诱导公式化简后再凑平方。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） 证明恒等式 $\frac{1+\sin (180^{\circ }-\alpha )-\cos (180^{\circ }+\alpha )+\sin 2\alpha }{1-\sin (180^{\circ }+\alpha )+\cos (\alpha -360^{\circ })}=\sin \alpha +\cos \alpha$.

🔍【思路分析】

破题导航

用诱导公式化 $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ 等，分子凑完全平方。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

左边 $=\frac{1+\sin \alpha +\cos \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }{1+\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha +\cos \alpha }{1+\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha +\cos \alpha )}{1+\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{(\sin \alpha +\cos \alpha )(1+\sin \alpha +\cos \alpha )}{1+\sin \alpha +\cos \alpha }=\sin \alpha +\cos \alpha =$ 右边。等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式证明

核心方法：诱导公式

避坑指南：用诱导公式化简分子分母，凑平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒等式

结论推广：左式化为 $\sin \alpha +\cos \alpha$

方法推广：诱导公式与平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-12 解-三角恒等式的证明
• 1989-广东文-26 填-诱导公式与特殊角