1977-广西百色文-06 解-高线圆周角等角

本题导读

本题考查圆周角与高线。核心在于直角三角形共角得等角，再由同弧圆周角传递。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(文)） 已知 $AD$ 和 $BE$ 分别是 $△ABC$ 的 $BC$ 和 $AC$ 边上的高，延长 $AD$ 交外接圆于 $F$，求证 $\angle EBC=\angle FBC$.

🔍【思路分析】

破题导航

法一：$△BEC$ 与 $△ADC$ 共角 $C$ 且双直角得 $\angle FAC=\angle EBC$，再由同弧圆周角 $\angle FAC=\angle FBC$。法二：$△BEC$ 与 $△BFD$ 双直角共角。

✅【答案】

Success

$\angle EBC=\angle FBC$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

【法一】在 $△BEC$ 和 $△ADC$ 中，因为 $AD\perp BC$，$BE\perp AC$，所以 $\angle ADC=\angle BEC=90^{\circ }$，$\angle C=\angle C$（公共角）。所以 $\angle FAC=\angle EBC$。又因为 $\angle FAC=\angle FBC$（同弧上的圆周角相等），所以 $\angle EBC=\angle FBC$。【法二】在 $△BEC$ 和 $△BFD$ 中，因为 $AD\perp BC$，$BE\perp AC$，所以 $\angle BEC=\angle BDF=90^{\circ }$。又因为 $\angle C=\angle F$，所以 $\angle EBC=\angle FBC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：高线圆周角等角

核心方法：同弧圆周角传递

避坑指南：$\angle FAC=\angle EBC$ 与 $\angle FAC=\angle FBC$ 链式传递

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆周角

结论推广：$\angle EBC=\angle FBC$

方法推广：高线与圆周角的角传递

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1977-山西-05 解-三角恒等式证明
• 2001-大纲文-19 解-圆内接四边形面积