1977-重庆-06 解-角平分线等弦

本题导读

本题考查圆的角平分线。核心在于圆周角用它所对弧的一半度量，角平分线分弧相等传递。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 如图，$AD$，$BD$ 分别为 $△ABC$ 的角平分线，延长 $AD$ 交 $△ABC$ 的外接圆于 $E$，连接 $BE$，求证：$BE=DE$.

🔍【思路分析】

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延长 $BD$ 交圆于 $F$；$\angle BDE$ 对弧 $\widehat{B_{1}E}+\widehat{A_{4}F}$，$\angle DBE$ 对弧 $\widehat{E_{2}C}+\widehat{C_{3}F}$；角平分线给 $\widehat{B_{1}E}=\widehat{E_{2}C}$、$\widehat{A_{4}F}=\widehat{C_{3}F}$。

✅【答案】

Success

$BE=DE$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：延长 $BD$ 交圆于 $F$。$\angle BDE$ 的度数 $=\frac{1}{2}\left(\widehat{B_{1}E}+\widehat{A_{4}F}\right)$ 的度数，$\angle DBE$ 的度数 $=\frac{1}{2}\left(\widehat{ECF}\right)$ 的度数 $=\frac{1}{2}\left(\widehat{E_{2}C}+\widehat{C_{3}F}\right)$ 的度数。而据角平分线性质得：$\widehat{B_{1}E}=\widehat{E_{2}C}$，$\widehat{A_{4}F}=\widehat{C_{3}F}$。所以 $\angle BDE=\angle DBE$，故 $BE=DE$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：角平分线等弦

核心方法：圆周角弧计算

避坑指南：角平分线分弧相等，圆周角用所对弧的一半度量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的性质

结论推广：$BE=DE$

方法推广：圆周角与弧的度数互换

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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