1989-上海-25 解-二面角与线面角

本题导读

本题考查二面角与线面角的综合。核心在于用三垂线定理证二面角平面角，用相似证比例。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 如图，设点 $A,B$ 分别在二面角 $M-PQ-N$（平面角为锐角）的两个面 $N,M$ 上，直线 $AB$ 与面 $M,N$ 所成的角分别为 $\alpha ,\beta$，过点 $A,B$ 分别作棱 $PQ$ 的垂线 $AE,BF$，垂足为 $E,F$.求证：$\frac{AE}{BF}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$.

🔍【思路分析】

破题导航

作面垂线得线面角，用三垂线定理证二面角平面角，相似得比例。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

过 $A,B$ 分别作 $AC,BD$ 垂直于平面 $M,N$，垂足为 $C,D$，连 $CE,DF,BC,DA$，得 $\angle ABC=\alpha$，$\angle BAD=\beta$。在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中，$AC=AB\sin \alpha$，$BD=AB\sin \beta$。因 $AE\perp PQ$，由三垂线定理逆定理 $CE\perp PQ$，故 $\angle AEC$ 为二面角 $M-PQ-N$ 的平面角，同理 $\angle BFD$ 也是，于是 $\angle AEC=\angle BFD$，$\mathrm{Rt}△AEC\sim \mathrm{Rt}△BFD$。故 $\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BD}=\frac{AB\sin \alpha }{AB\sin \beta }=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与线面角

核心方法：用三垂线定理证二面角平面角，用相似证比例。

避坑指南：三垂线定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三垂线定理。

结论推广：相似三角形。

方法推广：平面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法
• 1991-全国文-07 单-二面角与三角形的心
• 1990-全国文-23 解-空间向量求二面角