1981-全国理-08 解-二面角中的线线角与线面角

本题导读

本题考查二面角背景下的线线角与线面角，用空间向量最稳妥：建系后分别用方向向量与法向量求角。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 8. 在 $120^{\circ }$ 的二面角 $P-a-Q$ 的两个面 $P$ 和 $Q$ 内，分别有点 $A$ 和点 $B$，已知点 $A$ 和点 $B$ 到棱 $a$ 的距离分别为 $2$ 和 $4$，且线段 $AB=10$.

(1) 求直线 $AB$ 和棱 $a$ 所成的角；

(2) 求直线 $AB$ 和平面 $Q$ 所成的角.

🔍【思路分析】

破题导航

作 $A{A}^{\prime }\perp a$、$B{B}^{\prime }\perp a$，以 $A^{\prime }$ 为原点、棱 $a$ 为 $y$ 轴、在平面 $Q$ 内垂直于 $a$ 的直线为 $x$ 轴建系。由二面角 $120^{\circ }$ 得 $A(-1,0,\sqrt{3})$，设 $B(4,y_0,0)$，再由 $|AB|=10$ 求出 $y_0$，最后用向量公式求角。

✅【答案】

Success

(1) $\arccos \frac{3\sqrt{2}}{5}$ (2) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

作 $A{A}^{\prime }\perp a$ 于 $A^{\prime }$，$B{B}^{\prime }\perp a$ 于 $B^{\prime }$，则 $A{A}^{\prime }=2$，$B{B}^{\prime }=4$。以 $A^{\prime }$ 为原点，棱 $a$ 为 $y$ 轴，在平面 $Q$（$xOy$ 平面）内过 $A^{\prime }$ 且垂直于 $a$ 的直线为 $x$ 轴建立空间直角坐标系。 平面 $Q$ 即 $xOy$ 平面，棱 $a$ 方向向量 $\vec{j}=(0,1,0)$，平面 $Q$ 的法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$。 由二面角 $P-a-Q=120^{\circ }$，点 $A$ 在面 $P$ 内且 $A{A}^{\prime }=2$，其坐标为 $A(2\cos 120^{\circ },0,2\sin 120^{\circ })=(-1,0,\sqrt{3})$。 设 $B^{\prime }(0,y_0,0)$，则 $B(4,y_0,0)$（因 $B{B}^{\prime }=4$ 且 $B{B}^{\prime }\parallel x$ 轴）。 由 $|AB|=10$ 得 $[4-(-1){]}^2+(y_0-0{)}^2+(0-\sqrt{3}{)}^2=100$，即 $25+y_0^2+3=100$，故 $y_0^2=72$，$y_0=6\sqrt{2}$（取正）。 于是 $\overrightarrow{AB}=(5,6\sqrt{2},-\sqrt{3})$。 (1) 直线 $AB$ 与棱 $a$ 所成角 ${\theta }_1$ 满足 $\cos {\theta }_1=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{j}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{j}|}=\frac{6\sqrt{2}}{10}=\frac{3\sqrt{2}}{5}$，故 ${\theta }_1=\arccos \frac{3\sqrt{2}}{5}$。 (2) 直线 $AB$ 与平面 $Q$ 所成角 ${\theta }_2$ 满足 $\sin {\theta }_2=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{10}$，故 ${\theta }_2=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角中的线线角与线面角

核心方法：空间向量夹角公式

避坑指南：线线角用 $\cos \theta =|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{j}|/(|\overrightarrow{AB}||\vec{j}|)$，线面角用 $\sin \theta =|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|/(|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|)$；二面角 $120^{\circ }$ 使 $x_A=2\cos 120^{\circ }=-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间角的计算

结论推广：二面角转化为坐标投影，线面角与法向量互余

方法推广：空间直角坐标系法

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1985-全国理-13 解-二面角与线面角
• 1989-上海-25 解-二面角与线面角