1986-上海文-34 解-正方体截面二面角

本题导读

本题考查正方体截面所成二面角的求法，核心在于确定二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为棱 $C{C}_1$ 的中点，求截面 $A_{1}BD$ 和截面 $EBD$ 所成二面角的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

$BD$ 为公共交线，$O$ 为 $BD$ 中点，证 $A_{1}O\perp BD$、$EO\perp BD$，$\angle A_{1}OE$ 即平面角。

✅【答案】

Success

$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

连 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$，则 $O$ 为 $AC$、$BD$ 中点。连 $A_{1}O$、$EO$、$A_{1}E$。因 $A_{1}B=A_{1}D$，$EB=ED$，故 $A_{1}O\perp BD$ 且 $EO\perp BD$，$\angle A_{1}OE$ 为两截面所成二面角的平面角。设正方体棱长为 $a$，则 $A_{1}O=\sqrt{A{A}_1^2+A{O}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{\sqrt{6}a}{2}$，$EO=\sqrt{E{C}^2+C{O}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$A_{1}E=\sqrt{A_1{C}_1^2+C_1{E}^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{3a}{2}$。在 $△A_{1}OE$ 中，$\cos \angle A_{1}OE=\frac{A_1{O}^2+E{O}^2-A_1{E}^2}{2\cdot A_{1}O\cdot EO}=\frac{\frac{6a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{9a^2}{4}}{2\cdot \frac{\sqrt{6}a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}}=0$。故 $\angle A_{1}OE=90^{\circ }$，即两截面所成二面角为 $90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体截面二面角

核心方法：$A_{1}O\perp BD$、$EO\perp BD$，$\angle A_{1}OE$ 为平面角。

避坑指南：余弦定理得 $\cos \alpha =0$，二面角 $90^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角平面角。

结论推广：找交线垂线构平面角。

方法推广：余弦定理定角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1989-上海-25 解-二面角与线面角
• 1993-新高考文-23 填-折叠图形中的二面角