1988-上海-25 解-对数不等式求参数范围

本题导读

本题考查对数不等式中参数范围的求解。核心在于分类讨论 $a,b$ 大小。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 设 $y={\log }_{\frac{1}{2}}[a^{2x}+2(ab{)}^x-b^{2x}+1]$（$a>0$，$b>0$）.求使 $y$ 为负值的 $x$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

$y<0$ 即真数 $>1$，化为指数不等式分类讨论。

✅【答案】

Success

当 $a>b>0$ 时 $x>{\log }_{a/b}(\sqrt{2}-1)$；当 $b>a>0$ 时 $x<{\log }_{a/b}(\sqrt{2}-1)$；当 $a=b>0$ 时 $x$ 为一切实数

✍【详细解析】

Abstract

$y<0$ 即 $a^{2x}+2(ab{)}^x-b^{2x}+1>1$，$a^{2x}+2(ab{)}^x-b^{2x}>0$，$b^{2x}[(\frac{a}{b}{)}^{2x}+2(\frac{a}{b}{)}^x-1]>0$。因 $b^{2x}>0$，只需 $(\frac{a}{b}{)}^{2x}+2(\frac{a}{b}{)}^x-1>0$，即 $[(\frac{a}{b}{)}^x+1+\sqrt{2}][(\frac{a}{b}{)}^x+1-\sqrt{2}]>0$。因 $(\frac{a}{b}{)}^x+1+\sqrt{2}>0$，故 $(\frac{a}{b}{)}^x>\sqrt{2}-1$。取对数 $x\lg \frac{a}{b}>\lg (\sqrt{2}-1)$。 当 $a>b>0$ 时 $\lg \frac{a}{b}>0$，$x>\frac{\lg (\sqrt{2}-1)}{\lg (a/b)}={\log }_{a/b}(\sqrt{2}-1)$；当 $b>a>0$ 时 $\lg \frac{a}{b}<0$，$x<{\log }_{a/b}(\sqrt{2}-1)$；当 $a=b>0$ 时 $\lg \frac{a}{b}=0$ 而 $\lg (\sqrt{2}-1)<0$，不等式恒成立，$x$ 为一切实数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式求参数范围

核心方法：$y={\log }_{1/2}[\cdots ]$ 为负，解指数不等式。

避坑指南：分类讨论 $a,b$ 大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式。

结论推广：指数不等式。

方法推广：分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1990-广东理-34 解-含参对数不等式
• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式