1987-上海-25 解-集合的运算

本题导读

本题考查对数不等式与三角不等式的集合运算，核心在于分别求 $A$、$B$ 再取交集。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设 $A=\left\{x\mid {\log }_{\frac{1}{3}}\left|x-\frac{\pi }{3}\right|\ge {\log }_{\frac{1}{3}}\frac{2\pi }{3},x\in \mathbf{R}\right\}$，$B=\{x\mid \cos x\ge 0,x\in \mathbf{R}\}$.求 $D=A\cap B$（最后结果以区间形式给出），并在数轴上标出集合 $D$.

🔍【思路分析】

破题导航

解 $A$：底数小于 1 时对数不等式反向；解 $B$：$\cos x\ge 0$。

✅【答案】

Success

$D=\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)\cup \left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解 $A$：底 $\frac{1}{3}<1$，故 $0<\left|x-\frac{\pi }{3}\right|\le \frac{2\pi }{3}$，得 $x\ne \frac{\pi }{3}$ 且 $-\frac{\pi }{3}\le x\le \pi$。解 $B$：$\cos x\ge 0$ 得 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le x\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$。取交得 $D=\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)\cup \left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的运算

核心方法：解 $A$、$B$ 再求交集，注意对数不等式方向与绝对值。

避坑指南：$0<|x-\frac{\pi }{3}|\le \frac{2\pi }{3}$ 且 $\cos x\ge 0$，得 $D=[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3})\cup (\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合运算综合。

结论推广：对数不等式与三角不等式交集。

方法推广：分别求解再取交。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1988-上海-22 解-集合的交集
• 1988-上海-25 解-对数不等式求参数范围
• 1989-上海-22 解-函数的定义域